为什么一个离散的分布会跟一个连续的分布扯上关系呢？这个结论最早由法国数学家棣莫弗在1738年证明，他发现，如果不断地抛一枚硬币，那么得到的正面次数服从二项分布，只要抛得次数够多，那最终将逼近正态分布。也就是说，假如赌博胜和负的概率是对半分的，那么赌博
次的盈亏最终就是上面这个分布。
棣莫弗( de 1667-1754)丨图片来源：维基百科
不过这一结论在当时并没有引起重视，毕竟并不是所有赌徒都能像梅雷一样交上帕斯卡这样的朋友。百年之后，拉普拉斯试图挽救这个定理的人气，依然没有成功。为了纪念这对“难兄难弟”，现在人们把这个定理称为棣莫弗-拉普拉斯定理。
这种逼近的本质究竟是什么呢？我们看到，不管是高尔顿板，还是多次赌博，二项分布拆成每一步都是简单的
概率事件。那么就可以说，二项分布是这样的一步一步“加”起来的。
如果是比
更复杂的分布，把它们大量加起来是否仍然有类似的性质呢？高斯等人在研究实验物理学时发现，如果对一个物理量进行多次测量，最终的测量误差总是像这样的：
误差演示丨作图
在物理学中，误差来自于无关因素的微小扰动。这些扰动加起来，就是整体的误差。这个整体误差虽然层次不齐，但形状与正态分布还是大致吻合的。从那以后，实验的误差一般都当作是正态分布。为了纪念高斯的贡献，也把正态分布称为高斯分布。
至此，我们已经大概能想象到，正态分布的逼近与这种“加”的性质有关，剩下证明就是数学家的事了。如今，我们把这一系列逼近正态分布的性质称为“中心极限定理”，结论从最初的二项分布，已经扩展到了任意分布（包括同分布和不同分布）的广阔天地。就如同上一段中的误差——即便我们对微观下的扰动一无所知，也能通过这种极限形式，了解大样本下的整体行为。
应用这一思想的最为经典的例子当属统计力学。假如有一大堆粒子，每个都杂乱无章地运动，我们自然无从知晓每一个粒子的运动状况。不过，如果把每一个粒子的动量当作是一个随机分布的话，那就可以把所有这些分布“加”起来当做整体的动量。如此一来，中心极限定理岂不是大有用处？
的确如此。如果对理想气体应用中心极限定理，得到的正是大名鼎鼎的麦克斯韦速度分布：
这正是均值为
，方差为
的正态分布。结论并不出乎意料，毕竟速度是矢量，并没有明显的方向取向，所以均值是
。方差的意义略微复杂一些，就此略过，不过可以直观地理解：对于温度越高，粒子质量越小的气体，其速度就越不稳定。
要想得到速率（速度大小）的分布，只需要考虑速度分布这个三维空间中的一个球壳就行了。即是说，在上面那个式子基础上乘
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