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我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”这里的几何指多少的意思。翻译成数学语言就是：求正整数N，使N除以3余2，除以5余3，除以7余2。
如何求符合上述条件的正整数N呢？《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。”
过了一千多年，到了十六世纪，数学家程大位在他所著的《算法统宗》里把这个问题的解法用歌诀形式表述出来。三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得之。
歌诀的前三句给出了三组数，后一句给出了一个数：
3 70
5 21
7 15
105
三组数的共同特征是：70除以3余1，除以5、7余0； 21除以5余1，除以3、7余0； 15除以7余1，除以3、5余0。
首先程大位把不同的余数问题统一化为标准的余数问题。然后，他把复杂难解的问题化解为三个易解的问题。70、21、15分别是满足第一、二、三行条件的最小解。
2×70满足原题第一个余数条件，且被5、7整除。
3×21满足原题第二个余数条件，且被3、7整除。
2×15满足原题第三个余数条件，且被3、5整除。
统统相加得和：N=2×70+3×21+2×15=233。
N必然满足原题所有三个余数条件。但N不一定是最小的。歌诀最后一句“除百零五便得知”，这里“除”的意思是“减”，意即从233中减去3、5、7的最小公倍数105的倍数便得到23。这个23就是问题的最小解。这最后一句也可以理解为N除以105的余数就是问题的最小解。
中国古代数学有一个传统，总是以具体的数量关系表示一般的规律。把中国剩余定理译成数论术语就是：
设m₁、m₂、m₃是两两互质的正整数，对任意给定的整数a₁、a₂、a₃，必存在整数，满足：
x≡a₁ (mod m₁)，
x≡a₂ (mod m₂)，
x≡a₃ (mod m₃)。
并且满足上列方程组的解x(mod )是存在唯一的。
上面定理的表述是为方便或为忠于《孙子算经》，我们只写出含三个余数的情形，其实，这个定理对n个余数是通用的。
这个算法，给出了这类问题的非常简捷的一般解法。这个算法，具有非凡的数学思想，并对数论、代数产生了重要影响，中国称此算法为“孙子定理”，国际上称此为“中国剩余定理”。这是中国数学对世界数学最重要的贡献之一。中国剩余定理除本身的重要性之外，它还提示人们，要解决较复杂的问题，最好把它分解为几个易解的子问题；把问题各不相同的条件化成标准的条件，然后用标准的、统一的方法去处理。这是两种重要的数学思想。
南宋数学家秦九韶在他的《数书九章》中推广了“物不知数”问题，提出了计算“乘率”的方法——“大衍求一术”，使解决一次同余式问题的方法形成系统化的数学理论。
在西方，直到十八世纪，瑞士的欧拉与法国的拉格朗日才对同余式问题进行系统的研究。十九世纪的第一年，德国的高斯在《算术探究》一书中，才提出解决这类问题的方法——剩余定理，并给出了严格证明，被后人称为“高斯定理”。1852年英国基督教士伟烈亚力在《字林西报》上发表了《中国科学的记述》，介绍《孙子算经》中的“物不知数”题，并第一次解释了“大衍求一术”，并指出它实质上和高斯定理是一致的。当时，德国著名数学家康托尔称赞秦九韶是“最幸运的天才”，秦九韶推广了“中国的剩余定理”，为我国和世界数学史增添了光彩。
【附录】
一、【《孙子算经》简介】
《孙子算经》算经十书之一，是公元四世纪左右的数学著作，编撰年代不详。作者孙子，公元四世纪时人，生平不详。现传本分上、中、下三卷。上卷叙述度量衡制度、筹算记数和筹算乘除算法；中卷举例说明筹算分数算法、开平方和面积、体积计算；下卷是各种应用问题。中、下两卷共有各类算题64题。
《孙子算经》中“物不知数”问题及解法，属于一次同余式组，数论中称为“中国剩余定理”，也称“孙子定理”，秦九韶在此基础上，进一步研究，提出了“大衍求一术”。经我国历代数学家研究发展成完整严谨的理论与方法。
《孙子算经》是古代较为普及的算书。其中算题写得浅近有趣。例如“鸡兔同笼”（雉兔同笼）题远传日本（日本称为“鹤龟算”）。
“雉兔同笼”题为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何？”
二、【程大位简介】
程大位（1533年～1606年）字汝思，号宾渠。安徽休宁县率口（今为安徽省屯溪市前园村，其地土名渠沿）人，出身小商。据记载，程大位幼年聪敏好学，尤其喜爱数学，常“不惜重资，以购求遗书”，“遇方田、米粟、差分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股诣书，辄厚资购得之。”二十岁左右，他利用外出经商的机会，“遨游吴楚，博访闻人志士”，接触了许多实际问题，深感学习数学之重要。程大位早年就外出经商，分析毫末，较量锱铢，持筹握算；加之好学不倦，因而从中养成了认真、细致、精核、严谨的精神。他不仅深入实际，搜集问题，而且帮助群众解决问题。
程大位谦虚好学，治学严谨。他利用“商游吴楚”的机会，遇有“睿通数学者，辄造请问难，孜孜不倦”。在他所著的《算法统宗》中，就刻有“师生问难图”，一个青年手持算盘，向老者请教，态度至诚。程大位四十岁后，倦于外游，便“归而覃思于率水之上余二十年”。认真钻研古籍资料，绎其文义，审其成法，遍取各家之长，加上自己的心得体会，程大位花了毕生精力，终于于明万历壬辰（1592年）写成巨著《直指算法统宗》一书，共十七卷。书中列举算题五百九十五个，都附有详细解法。其后六年，又对该书“删其繁芜，揭其要领”，写成《算法纂要》四卷，先后在当时的休宁县屯溪发行。
《算法统宗》是一本良好的教科书，它结构严谨，循序渐进，文字通俗，明白易懂，由浅入深，饶有风趣。《算法统宗》很注意形数结合，利用图形的变换来论证算法的依据，即所谓“演段根源图”。《算法统宗》中集录了许多“难题”，这些题目均以诗歌形式出现。如：当年苏武去北边 不知去了几周年 分明记得天边月 二百三十五番圆。再如：今携一壶酒 游春郊外走 逢朋添一倍 入店饮九斗 相逢三处店 饮尽壶中酒 试问能算士 如何知原有。
这一类题目，富有民族特色，能激发学习兴趣，开发智力，培养爱国主义思想感情，即使在今天也还值得推荐。
《算法统宗》集珠算之大成，在我国数学史上有重要地位。
在中国数学研究的低潮时期，一个小商人，能不惜资金购买算书，“殚思竭虑，精研其术”，终于克通其奥，写出引人注目的巨著，自己出资，锓锌以传，且不断增删，多次发行。这种精神，实为难能可贵。正因为如此，程大位被人推崇，赠给“隶首薪传”（隶首，传说为黄帝时人，始定算数。薪传，薪尽火传，比喻道术学业之师矛相传。语出《庄子》。）匾额，高悬大厅数百年。
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