字节位运算二进制实现加减乘除讲一下四则运算表达式字符编码Bas64编解码URL 字节
0 或 1
1byte = 8位
一个字节的范围-128~127, 2^8 = 256
在计算机中，一个字节是由8位二进制组成，例如：1100 1111
字节通常写为”B”，位通常写为”b”，计算机存储器的大小通常用字节表示
带宽及码率通常是位表示，例如：kbps，mbps，一秒钟传输所需的带宽大小，这个单位是”位”，对比我们平常所说流量大小需要单位/8
例如：家的网络带宽是=100*，为什么我的下载流量没有达到那么高，这里需要说明的是，下载的流量是存储单位，在计算机中是用字节表示的，是位单位的1/8。也就是：100M的带宽，对应的实际流量是100/8 = 12.5M
带宽分为上/下行，一般的路由上/下行带宽分配比例是1:8，也就是说，上行是占总带宽的1/9，下行是占总带宽的8/9（可以通过路由器自定义调整），那么对应的带宽，实现下载流量大约是11M左右，上行流量大约是1.5M左右
位运算
& 与运算：两个位都为1时，结果才是1
| 或运算：两个位都为0时，结果才是0
^ 异或运算：两个位相同为0，相异为1
~ 取反：0变1，1变0
> 右移：各个二进位全部移动若干位，高位补零
与运算清零（所有位都和0做与运算）取一个数的指定位（例如：1010 1110，取低四位的数，和 0000 11111做与运算，得出1110）判断奇偶（根据末尾进行判断，0是偶数，1是奇数，if（x&1 == 0））
if (x & 1 == 0) return TURE;
return FALSE;
用来对一个数据某些位置设置为1（例如：1010 1110，低四位设置为1，和0000 1111做或运算，得出1010 1111）
总结：如果两个相应位相同为0，相异为1
特性：交换（a=a^b;b=a^b;a=a^b;）结合（(a^b)^c = a^(b^c)）对于任何数，都符合(a^a = 0, a^0=a)自反（a ^ 1, 末尾取反，0是不变，1是取反）
翻转指定位（例如：1010 1110，将其低四位进行翻转，和0000 1111做异或运算，得到1010 0001）交换两个数，且无需引用多余的指针（a=a^b;b=a^b;a=a^b;）
void swap(int &a, int &b)
{
if (a !=b)
{
a = a^b;
b = a^b;
a = a^b; // 注意此时的a=a^b;此时的b=a;
}
}
总结：对一个二进制数位取反，0变1，1变0
~1 = 0； ~0 = 1；
使一个数的最低位为0（例如：1010 0001 & ~1 = 1010 0000，~运算符的优先级高于其它符号）
左移1位（相当于乘以2，1010 0001 > 2 = 10 1000 00）用于进位操作
二进制实现加减乘除
首先来说一下，十进制的相加方法：
例如1：14 + 7 = 21 ， 首先不考虑进位等于11，由于4+7需要进位10，那么11 + 10 = 21；
例如2：136 + 967 = 1103，首先不考虑进位等于093，需要进位1010，那么093 + 1010 = 1103；
136 + 967 进位说明：
个位 6 + 7 进位 10
十位 3 + 9 不进位 0
百位 9 + 1 进位 100
需要进位的值10+1000 = 1010
例如3：9176 + 967 = 10143，不考虑进位等于9033，需要进位1110，那么9033 + 1110 = 10143；
9176 + 967 进位说明：
个位 6 + 7 进位 10
十位 7 + 6 进位 100
百位 1 + 9 进位 1000
千位 9 + 0不进位 0
需要进位的值10+100+1000 = 1110
证明：两个数字相加的时候，不考虑进位的值相加，最后再加上进位的值，得出最终的结果；
二进制，每位相加，逢二进一；例如：01 + 01 = 10
同理二进制，亦是如此，符合不考虑进位相加，再加上进位的值，但是二进制需要做一下逻辑运算的转换；
首先不考虑进位的情况下
1 + 1 = 0 （1 ^ 1 = 0）
1 + 0 = 1 （1 ^ 0 = 1）
0 + 1 = 1 （0 ^ 1 = 1）
0 + 0 = 0 （0 ^ 0 = 0）
规律如下：位值相同，相加为0；位值相异，相加为1
再不考虑进位的情况下，符合"异或运算"； a ^ b
2.接着考虑进位的问题
1 + 1 = 1（1 & 1 = 1） 1 + 0 = 0 （1 & 0 = 0） 0 + 1 = 0 （0 & 1 = 0） 0 + 0 = 0 （0 & 0 = 0） 规律如下：符合与运算
3.相加 a + b
不进位值相加 = a ^ b
进位的值相加 = a & b << 1
累计相加 = a ^ b + a & b << 1
递归循环调用，直至进位的值相加为0，也就是说无需再次进位
a + b = a ^ b + a & b << 1
int add(int a, int b)
{
if (b == 0 ) return a;
return add(a ^ b,a & b << 1);
}
减法思考，将减法做成加法，例如：9176 + 967 = 9176 +（-967）
那么，在二进制中，如何将一个值表达为负数，例如：0000 1000 = 8，那么-8 = 1000 1000
通过2的补码，它是一种用二进制表示有号数的方法，也是一种将数字的正负号变号的方式，其实现的步骤如下：
1、每一个二进制位取反值，0变1，1变0（即反码）
2、将反码加1
对于负值的表示方法，其实就是取反加一
// a 是减数
// b 是被减数
int subtraction(int a, int b)
{
int negative = addition(~b,1); //取反加1，得到的负数
return add(a,negative);
}
乘法
乘法思考，将乘法做成加法，例如：16 * 15 , 就相当于16个15相加，或是15个16相加
int multiplyAction(int a, int b)
{
// 首先取绝对值
int a1 = a < 0 ? subtraction(0,a) : a;
int b1 = b < 0 ? subtraction(0,b) : b;
int product = a1;
while(--b1)
{
product = addition(product,a1);
}
// 判断正负
if (a < 0 | b < 0)
{
// 取反加1，得到负数
return addition(~product,1);
// return subtraction(0,product)
}
return product;
}
除法
除法思考，将除法做成减法，例如：120 / 23 = 5.217 (四舍五入 = 5) ，就当于减去了5次23，剩下的值是余数，判断余数是否大于23的一半，进而判断是否是需要四舍五入
int division(int a, int b)
{
// 首先取绝对值
int a1 = a < 0 ? subtraction(0,a) : a;
int b1 = b < 0 ? subtraction(0,b) : b;
int productCount = 0;
while(true)
{
a1 = subtraction(a1,b1);
// 判断余数，计算四舍五入
if (a1 > 2) > a1){
break;
}
}
productCount = addition(productCount,b1);
}
// 判断正负
if (a < 0 | b < 0)
{
// 取反加1，得到负数
return addition(~productCount,1);
// return subtraction(0,product)
}
return productCount;
}
// 此方法的效率比较低，如果除数比被除数大很多的时候，就增加了很多次的遍历，通过算法相减的方法
// 目前是按照1倍被除数相减，当然了也可以按照2倍，3倍甚至多倍的思路来实现
// 有兴趣的同学，可以再此算法上做继续的优化
讲一下四则运算表达式
计算器的加减乘除是如何实现的（数学表达式的求值方式）
计算规则：先乘除，后加减，从左到右，先括号后括号外
20世纪50年代，波兰逻辑学家提出”一种不需要括号的后缀表达式”，称值为逆波兰（ ， RPN）
首先看一下中缀表达式中缀表达式如何转后缀表达式后缀表示是如何计算结果的
我们平常使用的表达式就中缀表达式，例如：3-5*(6/3)+2/(3*8)
规则：从左到右遍历数字和符号，如是数子输出；如是符号，则判断与栈顶符号的优先级，右括号或优先级低于栈顶符号（乘除优先加减）则栈顶元素依次输出，并将当前符号进栈，直至全部输出。
例如：3-5*(6/3)+2/(3*8)
1、初始化一个空栈，用来对符号进行出栈使用
2、第1个字符是3，直接输出；【输出：3】
3、第2个字符是-，栈顶为空，入栈 【栈：- 】
4、第3个字符是5，直接输出，【栈：- 】【输出：3 5】
5、第4个字符是*，对比栈顶-，*优先级高于栈顶，入栈，【栈：- *】
6、第5个字符是(，直接入栈，【栈：- * (】
7、第6个字符是6，直接输出，【输出：3 5 6】
8、第7个字符是/，因为还没有找到)，所以入栈，【栈：- * ( / 】
9、第8个字符是3，直接输出，【输出：3 5 6 3】
10、第9个字符是），匹配栈里面的（，【输出：3 5 6 3 /】 【栈：- * 】
11、第10个字符是+，对比栈顶*，优先级低于栈顶，全部出栈，【输出：3 5 6 3 / * -】【栈：+ 】
12、第11个字符是2，直接输出，【输出：3 5 6 3 / * – 2】
13、第12个字符是/，对比栈顶+，优先级高于栈顶，所以入栈，【栈：+ /】
14、第13个字符是(，直接入栈，【栈：+ / （】
15、第14个字符是3，直接输出，【输出：3 5 6 3 / * – 2 3】
16、第15个字符是*，对比栈顶元素（，直接入栈，【栈：+ / （ *】
17、第16个字符是8，直接输出，【输出：3 5 6 3 / * – 2 3 8】
18、第17个字符是），匹配（， 左括号和右括号中间依次出栈，【输出：3 5 6 3 / * – 2 3 8 *】 【栈：+ / 】
19、剩余栈中元素，依次出栈 【输出：3 5 6 3 / * – 2 3 8 * / +】
规则：从左到右边依次遍历表达式，遇到数字就进栈，遇到符号，就将处于栈顶两数字出栈，进行运算（注意：栈顶2 计算符号 栈顶1元素，注意顺序），运算结果进栈，一直最终获得结果
例如：3 5 6 3 / * – 2 3 8 * / +
1、第1个字符是3，入栈【栈：3】
2、第2个字符是5，入栈【栈：3 5】
3、第3个字符是6，入栈【栈：3 5 6】
4、第4个字符是3，入栈【栈：3 5 6 3】
5、第5个字符是/，取得栈顶2个元素进行计算（3 和 6 出栈），6 / 3 = 2 ，将2入栈【栈：3 5 2】
6、第6个字符是*，取得栈顶2个元素进行计算（2 和 5 出栈），5 * 2 = 10 ，将10入栈【栈：3 10】
7、第7个字符是-，取得栈顶2个元素进行计算（3 和 10 出栈），3 – 12 = -7 ，将-7入栈【栈：-7】
8、第8-10个字符是2 3 8，依次入栈【栈：-7 2 3 8】
9、第11个字符是*，取得栈顶2个元素进行计算（3 和 8 出栈），8 * 3 = 24，，将24入栈【栈：-7 2 24】
10、第12个字符是/，取得栈顶2个元素进行计算（2 和 24 出栈），2 * 24 = 1/12，，将1/12入栈【栈：-7 1/12】
11、第13个字符是+，取得栈顶2个元素进行计算（1/12 和 -7 出栈），-7 * 1/12 = -83/12，入栈
12、字符变量结束，最后一个元素出栈得出结果:-83/12
再举一个复杂的表达式：5 + [ ( 3 – 7 ) / ( 9 * 3 + 2 ) ] * 4 – 6
中缀表达式转化后缀表达式的过程（简化版）
1、5 【栈：+ [ (】
2、5 3【栈：+ [ ( -】
3、5 3 7【栈：+ [ ( – )】 再次输出5 3 7 -【栈：+ [ 】
4、5 3 7 – 9【栈：+ [ / ( *】
5、5 3 7 – 9 3【栈：+ [ / ( *】 再次输出5 3 7 9 3 * 【栈：+ [ / ( +】
6、5 3 7 – 9 3 * 2 + 【栈：+ [ / ( + ）】，【栈：+ [ / ] 】
7、5 3 7 – 9 3 * 2 + /【栈：+ 】
8、5 3 7 – 9 3 * 2 + / 4【栈：+ *】
9、5 3 7 – 9 3 * 2 + / 4 * + 【栈：-】
10、5 3 7 – 9 3 * 2 + / 4 * + 6【栈：-】
11、5 3 7 – 9 3 * 2 + / 4 * + 6 –
最终得到后缀表达式：5 3 7 – 9 3 * 2 + / 4 * + 6 –
总结
四则表达式，其实就运用了栈的思想，实现了后缀表达式
1、将中缀表达式转化为后缀表达式（按照加减乘除优先级来运算符号，去除了括号）
2、将后缀表达式进行运算得出结果（进行运算数字，注意运算的顺序）
编码
在计算机中，所有的数据在存储和运算时都要使用二进制表示，就像a,c,d26个字母以及0-9数字及一些常用的符号，在计算机中存储也要使用二进制来表示；
而具体的要那些二进制来表示那些符号，那么就提出了ASCII编码，是由美国标准信息交换代码制定的，用于文本数据
ASCII码用指定的7位或8位二进制组合来表示128或256种的可能字符；使用7位表示二进制（剩下一位二进制为0），也就是一个字节大小的存储来表示。
0～31及127(共33个)是控制字符或通信专用字符（不可显示的字符），例如：换行，回车，删除等。
32～126(共95个)是字符(32是空格），其中48～57为0到9十个阿拉伯数字。
65～90为26个大写英文字母，97～122号为26个小写英文字母，其余为一些标点符号、运算符号等。
例如：一串字符”;”，通过ASCII编码存储后的样子是
十进制：97 98 99 49 50 51 44 46
二进制：0Vx：： 0Vx：： 0Vx：
在计算机中存储的样式就是，上面的二进制信息
ASCII码扩展问题
加上一些特殊的字符，127个肯定是无法满足的，ASCII码扩展到255个字符
注意这8个位，最高位是1开头的，取值范围128~255
例如：
Vx： € 欧盟符号
Vx： ƒ 拉丁小写字母f
255 ÿ
大小规则的定义：
常见ASCII码的大小规则：0~9
1）数字比字母要小。如 “7”
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