别具特色的稳健参数设计
（DOE系列之六）
资深六西格玛咨询专家 周暐
之前的五个DOE系列已经系统地介绍了很多经典试验设计的基本原理和使用技巧。但是，DOE是一个理论和实践高度联系的统计科学门类，在不到一百年的发展历程中，企业界不断地向学术界提出新的意见和建议，而学术界也积极响应，推陈出新地向企业界提供了大量理论指导，逐步形成了更多专业化、精细化的DOE应用分支。比如说，稳健参数设计（n）（也称健壮设计、鲁棒设计，简称参数设计）就是其中的典型代表，它是一种在研究工程实际问题中很有价值的统计方法。日本的田口玄一（）博士在参数设计方法方面贡献非常突出，他在设计中引进SN比（信噪比）的概念，并以此作为评价参数组合优劣的一种测度，这是很有价值的，以至于很多文献和软件都把稳健参数设计方法称为田口设计（）。
稳健参数设计最主要的贡献是通过选择可控因子的水平组合来减少一个系统（或产品、过程）对噪声变化的敏感性，从而达到减少此系统性能波动的目的。同样，它的实现也离不开统计分析软件的支持。高端六西格玛统计分析软件JMP是目前业界最先进的六西格玛工具，其在DOE方面的表现最为优秀，在本期案例中我们将继续以中英文双语版JMP软件作为DOE方案实现的载体。
通俗地说，稳健参数设计区别于其它DOE方法最显著的特征是在关注响应平均值改善的同时，更关注其标准差的改善。那么它是如何实现标准差的改善，也就是说，如何使响应变量的变差减小呢？很自然的想法是，通过减小噪声的变差来实现减小响应变量的变差，噪声因子的来源可能有很多类型，例如原材料参数的变化、环境的变化、载荷因子的变化、单元间的差异和耗损降级等等。通常噪声因子是无处不在的，减小噪声的变差往往需要付出较高的经济代价。稳健参数设计则是更好的一种策略选择。这种策略是通过探索可控因子与噪声因子间的相互作用，从而用改变可控因子的水平组合的办法来减小响应变量的变差。因为可控因子通常易于改变，所以稳健参数设计比直接减小噪声变差更经济更方便。
我们可以通过一个简单直观的例子来理解这一点。正如图一所示，可控因子X本身受到噪声的影响而有波动，且响应变量Y与这个可控因子的关系是非线性的，则我们可以选择斜率较小的平坦区域从而使响应变量的变差减小。这样减小变差的方法比直接减小可控因子的噪声波动要便宜得多。一般地说，工程技术人员在系统设计（）选择确定了系统的构造之后，把选择参数的最佳设置以求减少响应变量变差的方法称为参数设计（）；再进一步把如何限定可控因子的噪声波动的方法称为容差设计( ) 。
图一 稳健参数设计的原理示意图
目前，在稳健参数设计中公认较好的试验与建模的方法是：用乘积表进行位置与散度建模。接下来，我们将会详细说明。
首先观察乘积表。过程的输入变量（因子）有两类：可控因子（ ）和噪声因子（）。为了考查可控因子的不同水平搭配的效果,我们要在一张控制表( Array) 中安排这些可控因子,通常用全因子设计或部分因子设计来进行，此表也常被称为“内表（Inter Array）”。为了考查噪声因子的效应,要对控制表中每个试验条件安排一个噪声表 ( )。这样做就相当于控制表中的每个水平组合与噪声表的所有组合相乘构成一个乘积表()、内外表(Inter-Outer Array)（也有称直积表的）。乘积表的图例可参见图二。记n1和n2分别为控制表及噪声表的试验次数,则乘积表的试验次数为n=n1×n2。图二中的n1=9，n2=8，表中带“*”的地方表示一次试验，总计要进行72次试验。
图二 稳健参数设计的乘积表
接着再看位置与散度建模。位置和散度建模法 ( and )就是分别建立位置和散度的度量值关于可控因子主效应的模型。对每个控制水平的组合，用噪声重复试验的样本均值作为位置的度量，用样本方差的对数 或样本方差本身作为散度的度量。对这两种度量，分别找出对它们有显著影响的因子来。凡对位置度量有显著影响者，称为位置因子（）；凡对散度度量有显著影响者，称为散度因子（）；是位置因子但又非散度因子者，称为调节因子（ ）。这三者的关系可以参见图三。
图三 稳健参数设计的因子分类图
对于望目型问题，我们解决问题的程序是这样的：先选择散度因子的水平使散度最小化；再选择调节因子的水平使位置达到目标值。对于望大或望小型问题，我们解决问题的两步程序是这样的：先选择位置因子的水平使位置达到最大（小）；再选择非位置因子的散度因子的水平使散度最小化。取什么指标来作为位置及散度的度量是最好的呢？前面所说的样本均值及样本方差是常见的选择，但我们的响应变量优化的目标可能有望大、望小和望目三种形式，统一使用“信噪比”及“灵敏度”是田口提出的建议之一。粗略地说，对于望大、望小和望目三种形式，用不同的公式来定义信噪比后，我们的位置-散度建模法的优化步骤的第一步,都可以归结为信噪比极大化，第二步再根据不同的目标选不同的因子予以调节,不一定都选“灵敏度”作指标。
关于信噪比( to Noise Ratio, )具体的定义公式，有兴趣的读者可查阅相关书籍或统计软件JMP的帮助文件说明。这里还是通过一个工业案例来介绍稳健参数设计的实际应用。
为了能够“最经济地实现附着性的最大化”，我们不能刻意地对噪声因子提出过高的要求，而是必须从所有可控因子的组合中找到一个最佳设置，但同时阻抗噪声因子干扰的能力也要足够的强。完成这样的任务，用稳健参数设计的方法是再合适不过的了。
首先，根据乘积表构建出总共72次的试验计划开展试验，完成试验后将数据汇总，得到附着性的平均值和信噪比，如图四所示。
图四 稳健参数设计的试验结果汇总表
在此之后，通常的做法是判定位置因子、散度因子和调节因子，然后依次调整这些因子的水平以达到响应最佳的效果。统计软件JMP在完成传统解决方案之外，提供了更简便的解决方案，即构建一个整合了平均值和信噪比的意愿函数（），通过预测器的自动优化，迅速找到最合适的因子设置。在本例中，我们就可以从图五中清楚地发现，当干扰的水平为2，壁厚的水平为2，深度的水平为3，粘度的水平为1时，附着性的平均值达到最大，最大值为22.825。同时，附着性的信噪比也达到最大，最大值为26.90753，意味着此时附着性的抗干扰能力也是最强的。
图五 田口设计模型的刻画器
关于高级DOE的内容还有很多，稳健参数设计/田口设计只是其中之一，我们会在今后的系列中陆续为大家介绍更精彩的DOE理论与应用。
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